Waga

Ciekawe porównanie

Jak porównać dwie liczby? Można po prostu wyznaczyć ich dokładne bądź przybliżone wartości w kalkulatorze. Czasem udaje się jednak rozwiązać tego rodzaju zadanie bez potrzeby obliczania ich wartości, używając jedynie kartki papieru i długopisu (wolę pióro). Czy chcesz wiedzieć więcej? Przejdź więc dalej.

Wszyscy znają liczbę \(\pi\) i mają świadomość jej doniosłości w matematyce i jej zastosowaniach. Nie wszyscy znają równie ważną liczbę \(e\) zwaną liczbą Eulera. Mówiąc w wielkim skrócie można udowodnić, że ciąg o wyrazie ogólnym \[a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\] jest rosnący i ograniczony z góry, ma zatem granicę. Jednak nie wyznaczymy jej metodami znanymi ze szkoły bądź studiów. Wiemy tylko, że istnieje. Co więcej, przedstawiając wyrazy ciągu \(a_n\) w postaci ułamków, dla dużych wartości \(n\) otrzymamy całkiem dobre przybliżenia liczby \(e\approx 2{,}718\). Jest to jednak liczba niewymierna. Liczba \(e\) jest podstawą logarytmu naturalnego:\[\ln x=\log_ex.\] Jeśli \(f(x)=\ln x\), to \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\).

Jednak nie o własnościach liczby \(e\) chciałbym tu napisać. Matematycznym folklorem i pouczającym ćwiczeniem jest rozwiązanie następującego zadania:

Która z liczb jest większa: \(e^{\pi}\) czy \(\pi^{e}\)?

Zarówno \(\pi\), jak i \(e\), są dość bliskie \(3\), więc pytanie wydaje się zasadne, zaś odpowiedź nieoczywista.

O pomoc poprosimy funkcję logarytmiczną. Wiemy, że logarytm o podstawie większej niż \(1\) jest funkcją rosnącą. Jest nią więc i logarytm naturalny. Wystarczy więc porównać liczby\[\ln e^{\pi}=\pi\ln e\qquad\text{oraz}\qquad \ln\pi^e=e\ln\pi.\]Ale obie stałe są dodatnie, więc nierówność nie zmieni się, jeśli obie liczby podzielimy przez iloczyn \(\pi e\). Wystarczy więc porównać liczby\[\frac{\ln e}{e}\qquad\text{oraz}\qquad\frac{\ln\pi}{\pi}.\]

Określmy teraz (dla \(x>0\)) funkcję \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) i zbadajmy jej monotoniczność.

Po obliczeniu pochodnej otrzymamy\[f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.\]Zatem\[f'(x)<0\iff 1-\ln x<0\iff\ln x>1\iff x>e.\]Tak więc funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\langle e,\infty)\). Skoro więc \(e<\pi\), to \(f(e)>f(\pi)\), skąd\[\frac{\ln e}{e}>\frac{\ln\pi}{\pi}\]i w konsekwencji\[e^{\pi}>\pi^e.\]Takie rozwiązanie cechuje pewna elegancja. Nie jest zbyt długie, wymaga jedynie znajomości podstaw rachunku różniczkowego, przez co dostępne jest nawet zdolniejszym uczniom szkoły średniej. To jeden z elementów piękna matematyki, zachwytu nad jej prostotą i konsekwencją.

Kończąc dzisiejszy artykuł podam jeszcze przybliżone wartości obu liczb \(e^{\pi}\approx 23{,}14\), zaś \(\pi^e\approx 22{,}46\). Empirycznie więc sprawdziliśmy udowodnioną powyżej nierówność. Ponadto widzimy, że różnica obu liczb jest niewielka. Błąd względny (gdy przyjmiemy \(\pi^e\) za wartość dokładną, zaś \(e^{\pi}\) za wartość przybliżoną) wynosi\[\frac{e^{\pi}-\pi^e}{\pi^e}\approx 0{,}0295=2{,}95\%,\] więc nie jest zbyt duży.

Cieszmy się matematycznymi smaczkami.

4 komentarze

  • Witaj,
    ale przybliżona wartość $\pi^e$ to $22{,}46$ (a nie $22{,}45$), przynajmniej tak mi się wydaje.
    Pozdrawiam
    Marcin

    • Ważną rzeczą w lekturze tekstu matematycznego jest weryfikacja jego poprawności, czyli krytyczne czytanie. Wnikliwość w lekturze świadczy też o zainteresowaniu Czytelnika tekstem oraz jego zrozumieniu. Tak więc dziękuję za wskazanie omyłki w zaokrągleniu odwzajemniając pozdrowienia. Omyłkę poprawiłem.

      • To rodzi dalszy problem zaokrągleń. W wynikach pomiarów najczęściej przyjmuje się zaokrąglanie do 2 miejsc znaczących. Czyli
        \[\frac{e^{\pi}-\pi^e}{\pi^e}\approx 0{,}030 = 3{,}0\%.\]
        Tak czy nie?
        Pozdrawiam
        Marcin S.

        • Marcinie, tutaj nie dyskutuję. Z nas dwóch to Ty jesteś specjalistą od metrologii. Pozdrawiam serdecznie.

Napisz komentarz