Czy liczby urojone są bytami urojonymi?

Zostałem wywołany do tablicy takim stwierdzeniem autorki bloga Socjobloger:

Matematycy znają pojęcie liczb urojonych. Ale uznawanie bytów urojonych to coś zupełnie innego. I raczej nie świadczy o logicznym myśleniu.

Zapraszam do lektury kilku refleksji na ten temat.

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem żadna liczba podniesiona do kwadratu nie jest ujemna. Jak żyjący w XVI wieku, Girolamo Cardano mógł wyobrazić sobie istnienie obiektów, które podniesione do kwadratu są jednak ujemne? Czy to tylko urojenie? Samego Cardano te dywagacje doprowadziły do bardzo interesujących wniosków, ale to temat na osobny artykuł (bądź nawet cykl artykułów).

Bytem jak najbardziej realnym jest płaszczyzna. Można ją traktować jak zbiór wektorów postaci \(\mathbf{x}=(x_1,x_2).\) Niech jeszcze \(\mathbf{y}=(y_1,y_2)\) (oczywiście współrzędne \(x_1,x_2,y_1,y_2\) są liczbami rzeczywistymi). Określmy na tych wektorach następujące działania:\[\begin{aligned}\mathbf{x}\oplus\mathbf{y}&=(x_1+y_1,\ x_2+y_2),\\\mathbf{x}\odot\mathbf{y}&=(x_1y_1-x_2y_2,\ x_1y_2+x_2y_1).\end{aligned}\]Jest to zwyczajne określenie pewnych wielkości wyrażonych liczbami rzeczywistymi. Wszystko realnie. Jakie są jednak konsekwencje takiej definicji działań?

Zajmijmy się przez chwilę wektorami postaci \(\mathbf{x}=(x,0)\), \(\mathbf{y}=(y,0).\) Wtedy\[\begin{aligned}\mathbf{x}\oplus\mathbf{y}&=(x+y,\ 0),\\\mathbf{x}\odot\mathbf{y}&=(xy,\ 0).\end{aligned}\]Możemy więc utożsamić wektor \(\mathbf{x}=(x,0)\) z liczbą rzeczywistą \(x\): \(\mathbf{x}\leftrightarrow x.\) Wtedy \(\mathbf{x}\oplus\mathbf{y}\leftrightarrow x+y\) oraz \(\mathbf{x}\odot\mathbf{y}\leftrightarrow xy.\)

A co z wektorami postaci \(\mathbf{x}=(0,x)\), \(\mathbf{y}=(0,y).\) Ich dodawanie jest podobne: \(\mathbf{x}\oplus\mathbf{y}=(0,\ x+y)\). Czy można więc utożsamić \(\mathbf{x}=(0,x)\leftrightarrow x\)? Zobaczmy, jak wygląda mnożenie:\[\mathbf{x}\odot\mathbf{y}=(-xy,\ 0).\]A taki wektor utożsamialiśmy z liczbą rzeczywistą \(-xy\). Zobaczmy, do jakich konsekwencji to prowadzi. Przyjmijmy \(\mathbf{i}=(0,1).\) Wtedy\[\mathbf{i}^2=\mathbf{i}\odot\mathbf{i}=(-1,0)\leftrightarrow -1.\]

Wszystkie te rozważania były oparte na pewnym specyficznym sposobie wykonywania działań na wektorach, czyli na parach liczb rzeczywistych, więc w istocie na samych liczbach rzeczywistych. Były więc bardzo realne. Tak realne, że liczby rzeczywiste nazywa się po angielsku real numbers. A jaki wniosek otrymaliśmy?\[\mathbf{i}^2\leftrightarrow -1.\]Kwadrat pewnego obiektu można więc utożsamić z liczbą ujemną. Oczywiście taki obiekt nie jest liczbą rzeczywistą, bo ta podniesiona do kwadratu zawsze jest nieujemna. To nie są mrzonki! Przecież tym obiektem, którego kwadrat jest ujemny, jest wektor \(\mathbf{i}\). Ale właśnie wektor, czyli para punktów, więc nie liczba rzeczywista.

Na koniec zachęcam Czytelnika do sprawdzenia następującego działania:\[(x,y)=(x,0)\oplus\bigl((0,1)\odot(y,0)\bigr).\]Dysponując utożsamianiami \(\mathbf{x}=(x,0)\leftrightarrow x\) oraz \(\mathbf{y}=(y,0)\leftrightarrow y\), możemy zapisać inne utożsamienie:\[(x,y)\leftrightarrow\mathbf{x}\oplus(\mathbf{i}\odot\mathbf{y}).\]Prowadzi to do definicji liczb zespolonych, ale to znowu temat na inny artykuł.

Takie liczby zespolone, których kwadraty są liczbami rzeczywistymi ujemnymi, nazwano liczbami urojonymi, o których była uprzejma wspomnieć nasza Socjoblogerka. Nie są one jednak bytem urojonym, ale – jak starałem się tu wykazać – jak najbardziej realnym.

6 komentarzy

  • Reakcja B. Peirce’a na wzór Moivre’a: ,,nie potrafię tego zrozumieć, nie wiem, co to oznacza. Ale został udowodniony, więc musi być prawdziwy” (Józef Życiński – Język i metoda, 1982, s. 107).

  • No właśnie urojone sugeruje jakby to było coś, co ludzie wymyślili. A przecież bez liczb zespolonych nie odkrylibyśmy tak złożonych obiektów, jak zbiór Mandelbrota. Ktoś mógłby powiedzieć, że cóż, ładny obrazek, ale jakby się dokładniej przyjrzał to przyroda jest pełna mandelbrotowskich kształtów i innych fraktali. Więc jeśli liczby urojone są urojone, to przyroda też. 😉

    • Gdyby zastanowić się nad kwestią pojawienia się liczb urojonych, trzeba cofnąć się do XV wieku, kiedy to Niccolo Fontana zwany Tartaglia zmagał się z rozwiązaniem równania trzeciego stopnia. Wpadł na pomysł sprowadzenia go do równania kwadratowego, ale niestety doszedł do takiego równania, które nie miało rozwiązań rzeczywistych. Dziś mówimy o wyróżniku, czyli klasycznej delcie, która okazała się tutaj ujemna. Nie wiedząc, co z tym fantem zrobić, sprzedał swoje pomysły Girolamo Cardano, który zdobył się na odwagę pierwiastkowania liczb ujemnych. Chyba powiedziałbym tak, że ludzie odkryli możliwość wykonywania tego rodzaju działać. W kwestii filozofii jestem bowiem zwolennikiem idei Platona.

      • A Cardano mu trochę podwędził sposób na rozwiązywanie równań 3 stopnia i dzisiaj o Tartagli mało kto wie (chociaż śmiem wątpić, żeby przeciętny człowiek miał pojęcie o istnieniu Cardano, może uczeń liceum). Co do liczb urojonych to przecież liczby niewymierne wydawały się starożytnym Grekom z ich idealnymi bryłami i miarami równie niedorzeczne. Wszak, jak głosi przypowiastka Hippazosa za to, że obstawiał, iż niewymierność istnieje rozzłoszczeni Pitagorejczycy wyrzucili za burtę. (mało prawdopodobne na takich pacyfistów i wegetarian 😉 ). Nie pamiętam który, ale jakiś stan w XIX wieku zamierzał ponoć głosować za uznaniem liczby Pi za wymierną. 🙂 To chyba po prostu typowy strach przed odmiennością. 😉

        • Wydaje mi się, że Cardano odkupił dotychczasowe wyniki Tartaglii. Po prostu zapłacił mu za wyjawienie, do czego on doszedł. I miał odwagę pozwalającą mu przełamać utarte schematy. Nie wolno pierwiastkować liczb nieujemnych? A kto tego zakazał? Zobaczmy co się stanie, gdy to zrobimy… Tak samo ktoś nie wierzył, że samolot – obiekt cięższy od powietrza – może latać. A co do znajomości nazwiska Cardana, to przecież jego przegub znajduje się w niemal każdym samochodzie. Genialnie prosty wynalazek z tak wielkimi konsekwencjami. Więc przynajmniej inżynierowie muszą znać nazwisko Girolamo Cardano. Ale chyba wiem, o co chodzi. Gdy opowiem na wykładzie o genezie liczb zespolonych, studenci kierunku mechanika i budowa maszyn ze zdziwieniem dowiadują się, że Cardano od przegubu i Cardano od wzorów Cardana to ten sam Cardano.

          • No tak, inżynierowie owszem (a raczej powinni, choć niektóre kierunki na polibudzie można skończyć, nie mając zbyt wielkiego pojęcia o temacie – przynajmniej kiedyś student polibudy znał się na kombinowaniu nie tylko przy rozwiązywaniu trudnych równań 😉 a od lat 90. kiedy studiowałem „technika” się na pewno rozwinęła 😉 ). Ale typowy Kowalski z ulicy to zapewne nie byłby w stanie wymienić ani jednego nazwiska matematyka. Z fizykami i chemikami lepiej, mógłby znać przynajmniej Einsteina i Skłodowską, chociaż czemu są sławni to już raczej by nie wiedział.

Napisz komentarz