Etiuda indukcyjna

Okres wakacyjny nie sprzyjał blogowaniu. Zresztą prowadząc dowolną działalność czasem warto odetchnąć. Wracam z nowymi siłami, a dzisiejszy temat jest efektem małego quizu, który zorganizowałem niedawno na facebookowej fanpage. Zapraszam do lektury.

Wiemy, że kwestią umowy jest sprawa zaliczenia zera do zbioru liczb naturalnych. Sam uważam, że zero nie jest liczbą naturalną (wbrew obecnie promowanej w podręcznikach szkolnych konwencji), ale argumentacja może być tematem osobnego artykułu. Aby skupić się na istocie dzisiejszego tematu przyjmijmy więc, że najmniejszą liczbą naturalną jest $1$. Jeśli więc $\NN$ oznacza zbiór liczb naturalnych, to\[\NN=\{1,2,3,\dots\}.\]Czytelnikom fanpage zadałem następujące pytanie. Niech $\RR$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych, a zbiór $A\subset\RR$ ma dwie własności:
$1^{\circ}\quad 1\in A$;
$2^{\circ}\quad $dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi warunek\[n\in A\implies n+1\in A.\]

Wynika stąd, że

a) $A\subset\NN$,
b) $\NN\subset A$,
a) $A=\NN$.

Quiz określiłem jako przeznaczony dla adeptów matematyki. Zdziwiłem się bardzo spostrzegając błędne odpowiedzi udzielone bądź przez studentów matematyki, bądź przez zawodowego matematyka. Pytanie jest więc co najmniej kłopotliwe.

Oczywiście łatwo ocenić, że chodzi tu o zasadę indukcji matematycznej. Mówiąc nieformalnie, skoro $1\in A$, to $2\in A$, zatem $3\in A$ i dalej każda liczba naturalna $n$ jest elementem zbioru $A$. Oznacza to, że $\NN\subset A$. Nic więcej. Zauważmy bowiem, że $\NN$ jest najmniejszym zbiorem spełniającym warunki $1^{\circ},2^{\circ}$ i  spełnia je każdy nadzbiór zbioru $\NN$, tj. każdy zbiór $C$, dla którego $\NN\subset C$. Warunki $1^{\circ},2^{\circ}$ niczego po prostu nie mówią o (ewentualnie) innych niż naturalne elementach zbioru $A$.

Postaram się udowodnić bardziej formalnie, że $\NN\subset A$, tzn. poprawna jest odpowiedź b). Czytelnik samodzielnie przekona się, że warianty a), c) są niepoprawne.

W teorii liczb naturalnych niektórzy matematycy przyjmują zasadę indukcji matematycznej jako aksjomat. Inni posługują się pewnym wariantem aksjomatu kresu dolnego, a mianowicie intuicyjnie oczywistym zdaniem głoszącym, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy (oba aksjomaty są równoważne, tzn. jeden wynika z drugiego). Wykorzystam ten aksjomat w dalszym rozumowaniu.

Niech więc $A\subset\RR$ spełnia warunki $1^{\circ},2^{\circ}$. Przyjmijmy $B=A\cap\NN.$ Łatwo zauważyć, że zbiór $B$ też spełnia warunki $1^{\circ},2^{\circ}$ oraz $B\subset\NN.$ Przypuśćmy, że $B\ne\NN$, tzn. istnieje liczba naturalna $n\not\in B$. Stosując wspomniany aksjomat możemy przyjąć, że $n$ jest najmniejszą taką liczbą. Ponieważ $1\in B$, to $n\xge 2$, więc $n-1\xge 1$, czyli $n-1\in\NN.$ Zatem $n-1\in B$ (bo $n$ było najmniejszą liczbą naturalną nie należącą do $B$). Ale warunek $2^{\circ}$ zastosowany do liczby $n-1\in B$ wnosi, że $n=(n-1)+1\in B$, skąd otrzymujemy sprzeczność, bo zakładaliśmy, że $n\not\in B$. Doprowadziło do niej przypuszczenie, że $B\ne\NN$. Skoro więc $B\subset\NN$, to $B=\NN$.

Otrzymaliśmy, że $\NN=B=\NN\cap A$. Oznacza to, że $\NN\subset A$. Istotnie, niech $n\in\NN$. Skoro $\NN=\NN\cap A$, to także $n\in A$.

Tak wiele matematyki w tak prostym pytaniu. Czy świat nie jest matematyczny?

Dodaj komentarz