Teoria liczb jest dziedziną matematyki zajmującą się liczbami naturalnymi. Nazwano ją królową nauk matematycznych ze względu na (jak sądzono) największą czystość czyli zupełny brak związków z praktyką. Dziś teoria liczb utraciła to dziewictwo, albowiem rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze stanowi podstawę algorytmu szyfrowania z kluczem publicznym. Ale nie o tym chcę dziś mówić — cofnę się do absolutnych podstaw. Zapraszam więc do lektury.
Liczba naturalna jest pierwsza, jeśli ma dokładnie dwa dzielniki. Stąd od razu wynika, że jedynka nie jest liczbą pierwszą. Czemu o tym mówię? Bo w szkole podstawowej uczono mnie, że liczba pierwsza to taka, która dzieli się tylko przez $1$ i przez samą siebie, a jedynka ten warunek spełnia.
Jasnym jest, że każdą liczbę naturalną większą niż $1$ można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Dlaczego jasne? Niech $n>1$ będzie liczbą naturalną. Jeśli nie da się jej przez nic podzielić (mówię tu kolokwialnie, mając na myśli dzielniki właściwe, czyli większe niż $1$ i mniejsze niż $n$), to jest pierwsza. Jeśli się da, to zabawę w szukanie dzielników powtarzamy dla każdego dzielnika z osobna. W końcu dojdziemy do podstaw: niczego już nie będzie się dało przez nic podzielić i otrzymamy liczbę $n$ w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych i jest to podstawowe twierdzenie w teorii liczb. Dowodów jest co niemiara. Ale najprostszy jest dowód Euklidesa. Niech $\{p_1,\dots,p_n\}$ będzie zbiorem skończonym złożonym z liczb pierwszych, nawet niekoniecznie kolejnych. Niech $p=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_n+1$. Łatwo zauważyć, że liczba $p$ nie jest podzielna przez żadną z liczb $p_1,\dots,p_n$ (bo resztą z takiego dzielenia jest $1$). Dlatego istnieje liczba pierwsza inna niż wszystkie te liczby. Jest nią albo sama liczba $p$, albo, jeśli $p$ jest złożona, jakikolwiek jej dzielnik pierwszy. Wykazaliśmy więc, że dla każdego zbioru skończonego złożonego z liczb pierwszych istnieje liczba pierwsza, która do niego nie należy. Tym samym rzeczywiście zbiór wszystkich liczb pierwszych jest nieskończony.
Podzielę się pewnym spostrzeżeniem związanym z powyższym dowodem. Przypuśćmy, że będziemy rozważać kolejne skończone zbiory początkowych liczb pierwszych takie jak $\{2\}$, $\{2,3\}$, $\{2,3,5\}$ itd. Niech ogólnie $\{p_1,\dots,p_n\}$ będzie takim podzbiorem. Gdy sam poznawałem dowód nieskończoności zbioru liczb pierwszych, wydawało mi się, że już liczba $p=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_n+1$ jest pierwsza, bo przecież żadna z liczb $p_1,\dots,p_n$ nie jest jej dzielnikiem. To ewidentna nieprawda, gdyż liczby postaci $p$ mogą być złożone, o czym nietrudno się przekonać. Pierwsza taka możliwość zachodzi dla zbioru $\{2,3,5,7,11,13\}$, dla którego\[2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509\,.\] Dalej złożone są liczby $p$ dla wszystkich kolejnych zbiorów aż do liczby $29$ (jako końcowej) włącznie. Dla $p_n=31$ znów $p$ jest liczba pierwszą, potem dla $p_n=37$ bądź $p_n=41$ znów liczby $p$ są złożone. Rozpoznanie pierwszości czy złożoności dalszych liczb $p$ pozostawiam eksperymentom Czytelników (jeśli tylko dysponują odpowiednim oprogramowaniem).
Dawno temu mówiono, że jeżeli Pan Bóg miał czas by zajmować się matematyką to uprawia geometrię, później że zajmuje się algebrą, a obecnie teorią liczb.
… znając zapewne wszystkie tajemnice liczb pierwszych.
Najpewniej tak, ale podgląd ich jest niełatwy. Wiadomo boskość liczb pierwszych.
Świetny artykuł, fajnie jakby były jego rozwinięcia do coraz bardziej skomplikowanych zagadnień z teorii liczb.
Dziękuję za uznanie. Propozycję oczywiście rozważę.
Z tą jedynką i definicją widzę jeden istotny problem – jeśli tłumaczenie jest takie, że 1 nie jest pierwsze z definicji, to skąd się w takim razie wzięła definicja?
A dlaczego czasem umawiamy się, że 0 jest liczbą naturalną, a czasem, że nie jest? Proponuję przejrzeć dostępne w sieci dyskusje.
Często jest tak, że definicje są tworzone żeby uprościć pewne wyrażenia i uniknąć potrzeby powtarzania niektórych wyjątków (warunków brzegowych). Tak jest na przykład z wyrażeniem nieokreślonym 0^0 – z jednej strony 0^x powinno dawać zero, z drugiej x^0 to jedynka, dlaczego więc większośc matematyków przyjmuje (z definicji) że 0^0=1? Bo to upraszcza kupę rzeczy (nie mogę sobie teraz przypomnieć konkretnego przykładu – może Autor blogu się odezwie).
Nie może, tylko na pewno. Zobaczmy na wielomian:\[w(x)=\sum_{i=0}^nx^i.\]Z jednej strony zapisujemy go ,,normalnie”:
\[w(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n,\]a z tej notacji sumacyjnej mamy\[w(x)=a_0x^0+a_1x+\dots+a_nx^n.\]I co dla \(x=0\)? Naturalnie jest więc przyjąć, że \(0^0=1\), ale to tylko konwencja, bo \(0^0\) jest symbolem nieoznaczonym. Np.\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty,\]skąd\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}=0,\]a ta granica ma typ \(0^0\). Z drugiej strony\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=1.\]Chodzi tu więc o szybkość zbieżności podstawy i wykładnika potęgi.