Do humoru zeszytów szkolnych zapisać należy stwierdzenie, że całka oznaczona powstaje z całki nieoznaczonej przez dopisanie granic całkowania. Jaki więc jest związek obu rodzajów całek? Zapraszam do lektury.
Przywołane na wstępie stwierdzenie wynika z mechanicznego pojmowania całki. Jeśli chcemy zapisać w zeszycie $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,\dd x$, to piszemy najpierw $\displaystyle\int$ jako symbol całki, potem $\displaystyle\int\limits_a$, następnie $\displaystyle\int\limits_a^b$ i ostatecznie $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,\dd x$.
Współczesne podejście dydaktyczne do kwestii całki oznaczonej preferuje przedstawienie najpierw całki nieoznaczonej. Dzieje się tak ze względu na wzór Newtona–Leibniza:\[\int\limits_a^b f(x)\,\dd x=G(b)-G(a),\]gdzie\[\int f(x)\,\dd x=G(x)+C,\]co oznacza po prostu, że $G$ jest dowolną funkcją pierwotną dla funkcji $f$, o której zakładamy, że jest ciągła w przedziale $[a,b].$ Zdrowy rozsądek wskazuje więc na to, że aby można było określić całkę oznaczoną, najpierw trzeba opowiedzieć o całce nieoznaczonej. Często jednak historia toczy się wbrew rozsądkowi. Z wprowadzeniem całki oznaczonej było zupełnie inaczej.
Łatwo obliczyć pole trójkąta. Tak więc równie łatwo obliczyć pole dowolnego wielokąta, bo możemy podzielić go na trójkąty. Wzór na pole koła znany był od zarania dziejów. Są to więc łatwe rzeczy. Jak jednak obliczyć pole obszaru ograniczonego niekoniecznie liniami prostymi, choćby takiego, jaki widać na rysunku ilustrującym ten artykuł? Nie będę wchodził w szczegóły, ale można ten obszar kroić na coraz cieńsze pionowe paski i obliczać sumy pól odpowiednio dobranych prostokątów. Im jest ich więcej, tym dokładniejsze przybliżenie szukanego pola otrzymujemy. Jeśli tylko funkcja $f$ jest ciągła, to taka konstrukcja jest możliwa. Możemy więc powiedzieć, że całką oznaczoną ciągłej funkcji nieujemnej w przedziale $[a,b]$ jest pole obszaru ograniczonego liniami $x=a$, $x=b$, $y=0$ oraz $y=f(x).$ Zauważmy, że w tym podejściu odwoływaliśmy się jedynie do geometrii, niczego nie mówiliśmy o jakichś całkach. Okazuje się, że tego rodzaju definicja jest bardzo udana. Oczywiście można całkę oznaczoną definiować bardziej tradycyjnie jako granicę ciągu sum całkowych itd. itp. Również tutaj brak odwołania do całek nieoznaczonych. Tak więc całka oznaczona to pole. Ograniczyłem tu zakres rozważań do funkcji nieujemnych, ale nie wpływa to w ogóle na ideę, którą chcę przedstawić.
Spójrzmy ponownie na rysunek. Zakreskowałem na nim obszar o polu $F(x)$, czyli\[F(x)=\int\limits_a^x f(t)\,\dd t.\]Funkcję $F$ nazywamy funkcją górnej granicy całkowania. Ta konstrukcja jest kluczowa. Okazuje się bowiem, że jeśli $f$ jest funkcją ciągłą, to $F'(x)=f(x)$ dla każdego $x\in[a,b].$ Dopiero w tym miejscu, gdzieś w końcówce drugiego aktu sztuki, na scenę wchodzi nieśmiało nasza całka nieoznaczona.
Istotnie, jeśli wiemy, że $F'(x)=f(x),$ to $F$ jest funkcją pierwotną dla $f$. Niech teraz $G$ będzie dowolną funkcją pierwotną dla $f$, tzn. $G'(x)=f(x).$ Widzimy, że $G'(x)-F'(x)=0$, a więc różnica $G-F$ jest funkcją stałą, skąd $G(x)=F(x)+C$ dla pewnej stałej $C$. Dochodzimy więc do wzoru\[G(x)=\int\limits_a^x f(t)\,\dd t+C,\]a wstawiając tu $x=a$ mamy\[G(a)=\int\limits_a^a f(t)\,\dd t+C=0+C=C.\]Stąd już prosto otrzymujemy wzór Newtona–Leibniza: najpierw zauważamy, że $G(x)=F(x)+G(a)$, potem zapisujemy $F(x)=G(x)-G(a)$, wreszcie wstawiamy tu $x=b:$\[\int\limits_a^b f(x)\,\dd x=F(b)=G(b)-G(a).\]
Mamy więc paradoks: całkę oznaczoną obliczamy z użyciem całki nieoznaczonej, a ta została wprowadzona znacznie później po wynalezieniu całki oznaczonej. Czasem po prostu dydaktyka nie podąża za historią idąc drogą wygody. To nie jest złe, ale warto mieć świadomość właściwej kolei rzeczy.
Nie traktujmy jednak całki nieoznaczonej jako ubogiej krewnej, która nikomu nie jest potrzebna. Przeciwnie, odgrywa ona szczególnie doniosłą rolę w wielu działach analizy matematycznej, dla przykładu w równaniach różniczkowych.