Kiedy zaczyna się lichwa?

Nie lubię, gdy idąc z kolegą na piwo, każdy płaci za siebie. Kolega też tego nie lubi. Przyjęliśmy prostą zasadę: raz płaci jeden, a raz drugi. Jest to forma pożyczki. Jeśli płacę ja, pożyczam koledze równowartość piwa, które on wypił. Zwrot następuje w naturze, przy następnym spotkaniu. Taka pożyczka nie jest oprocentowana. Ale jeśli pożyczam w banku, w firmie pożyczkowej czy w internecie, zawsze naliczana jest jakaś opłata. Czy zawsze jest ona uczciwa?

Lichwa

Bardzo często pożyczamy sobie drobne sumy. Jeśli robimy to po koleżeńsku, nawet nie żądamy zapłaty, czyli oddania pożyczki z procentem. Rozważmy jednak prawdziwą pożyczkę. Zasady będą proste. Pożyczamy kwotę $K$ na $n$ dni, po upływie których oddajemy ją wraz z ustaloną wcześniej opłatą $p$.

Odsetki od tej pożyczki mają więc wartość $p$, więc stopa procentowa dla $n$–dniowego okresu wynosi \[i_n=\frac{p}{K}.\] Dla przykładu, jeśli pożyczamy kwotę $1000$ zł na $30$ dni, a opłata za pożyczkę wynosi $10$ zł, to $i_{30}=\frac{10}{1000}=0{,}01=1\%.$

Przeanalizujmy teraz naszą pożyczkę w skali roku. Wyznaczymy wartość odsetek należnych od kwoty $K$ po roku przy założeniu, że $n$–dniowa stopa procentowa wynosi $i_n.$ Posłużymy się oprocentowaniem złożonym (zapraszam do przypomnienia sobie mojego blogowego cyklu Subtelności liczenia pieniędzy). Cały rok składa się z $\frac{365}{n}$ okresów $n$–dniowych. Stąd kapitał $K$ po roku osiągnie wartość \[K(1+i_n)^{\tfrac{365}{n}},\]a odsetki otrzymamy po odjęciu od niego samego kapitału $K$:\[K(1+i_n)^{\tfrac{365}{n}}-K=K\Bigl((1+i_n)^{\tfrac{365}{n}}-1\Bigr).\]Roczną stopą procentową równoważną stopie $n$–dniowej $i_n$ jest więc\[r=(1+i_n)^{\tfrac{365}{n}}-1.\]Biorąc pod uwagę równość $i_n=\frac{p}{K}$ dostajemy $1+i_n=\frac{K+p}{K},$ więc\[r=\Bigl(\frac{K+p}{K}\Bigr)^{\tfrac{365}{n}}-1.\]Stopa $r$ nazywa się rzeczywistą roczną stopą procentową (RRSO). W sytuacji dowolnej pożyczki RRSO oblicza się w bardziej skomplikowany sposób, ale dziś nie będę o tym mówił.

Od roku 2002 w instytucje finansowe zobowiązane są do podawania RRSO dla swoich produktów typu kredyt czy pożyczka. Tu dochodzimy do tytułowego pytania. Kiedy zaczyna się lichwa?

Rozważmy tygodniową pożyczkę $50$ zł, za którą zapłacimy po tygodniu $2$ zł. Śmiesznie mało, nieprawdaż? Obliczmy jednak RRSO. Mamy $K=50$, $p=2$, $n=7.$ Dlatego\[r=\Bigl(\frac{K+p}{K}\Bigr)^{\tfrac{365}{n}}-1=\Bigl(\frac{52}{50}\Bigr)^{\tfrac{365}{7}}-1=6{,}7297=672{,}98\%.\]Jest to ewidentna lichwa. Tak wielka wartość RRSO oznacza, że gdyby dłużnik nie spłacał pożyczki, po roku musiałby zapłacić $50\cdot 672{,}98\%=50\cdot 6{,}7298=336{,}49$ zł odsetek. Przy nich sam pożyczony kapitał traci na znaczeniu.

Umówmy się, że przyzwoity poziom RRSO to $12\%$. Obliczmy dla naszej pożyczki, jaka musiałaby być za nią opłata (po $7$ dniach). W równaniu\[r=\Bigl(\frac{K+p}{K}\Bigr)^{\tfrac{365}{n}}-1\]wstawiamy $r=0{,}12$, $K=50$, $n=7$. Otrzymujemy\begin{align}\Bigl(\frac{50+p}{50}\Bigr)^{\tfrac{365}{7}}-1&=0{,}12\\\Bigl(1+\frac{p}{50}\Bigr)^{\tfrac{365}{7}}&=1{,}12\\1+\frac{p}{50}&=1{,}12^{\tfrac{7}{365}}\\\frac{p}{50}&=1{,}12^{\tfrac{7}{365}}-1\\p&=50\Bigl(1{,}12^{\tfrac{7}{365}}-1\Bigr)=0{,}1088,\end{align}co oznacza, że na $12$–procentowym poziomie RRSO opłata za $7$–dniową pożyczkę w wysokości $50$ zł wynosi ok. $11$ groszy.

Zapraszam do dalszych eksperymentów z omawianą dziś formą pożyczki.

Matematyka jest obiektywna — liczby nie kłamią. Równania nie dadzą recepty na uczciwość. Pozwolą jednak nabyć orientacji. Te same obliczenia można wykorzystać kalkulując i lichwiarski, i uczciwy produkt finansowy. Nie ma więc złych narzędzi, są tylko źle użyte. Nożem można ukroić chleb. Nożem można też…

Dlatego jako matematyk nie powiem, kiedy zaczyna się lichwa. Niech Czytelnicy osądzą to sami.

6 komentarzy

  1. Zapraszający, w dowolnej formie, np. Stary, choć na piwo, ponosi koszty zaproszenia jako konsekwencję czynu niezabronionego. Czyli koszt tego co sam zamawia dla zaproszonych. I nie ma tu miejsca na tzw. “pożyczkę”. Natomiast zamówienia zaproszonego nie płaci bo to nie jest “część gościny”.

    1. Ale regularne spotkana muszą opierać się na wzajemności. Tekst wstępu był programowany pod część zasadniczą. Bo generalnie uczciwie jest, jeśli bilans zaproszeń jest zerowy.

  2. Też nie lubię, gdy ktoś się rozlicza do ostatniego grosika przy płaceniu za piwo (czy co tam kto pija w towarzystwie). Ale znam ludzi, którzy inaczej nie potrafią, a którzy są skądinąd całkiem sympatycznymi, wartościowymi osobami, więc czasem przymykam oko.

    Pozdrawiam zza blogowej miedzy. Nota bene bardzo sympatyczny ten Twój blog, dodaję Cię do swojego czytnika RSS. A znalazłem Cię dzięki Tucholskiemu i jego akcji (wiadomo jakiej)

    P.S. Sam jestem fanem matematyki, ale raczej z gatunku tych, którzy żeby policzyć do dwudziestu, muszą najpierw zdjąć buty…

    1. Bardzo dziękuję za tak ciepłe słowa. Również zerknę na Twój blog.

      Zerknąłem pobieżnie. Jak piszesz, jest on niszowy. Ciekawie wykonany od strony technicznej, a merytorycznie interesujący. Zapraszam moich Czytelników. https://xpil.eu/

  3. Bardzo ciekawy tekst. Ogólnie uważam, że w nauczaniu matematyki przykłady z finansów powinny być znacznie powszechniejsze.

    1. Nie tylko z finansów. Matematyka jest opisem rzeczywistości. Dlatego warto odnosić ją np. do praktyki inżynierskiej. Więc przykłady z mechaniki. Ale też statystyka, nauki społeczne. Warto uświadamiać ludzi o powszechności matematyki i konieczności jej znajomości.

Dodaj komentarz