Matematyczna procedura

Na wykonanie jakiegoś zadania składa się cała lista czynności, które muszą być podjęte w ustalonej kolejności. Jest to procedura. Ma ją również matematyka. Jak to wygląda? Zapraszam do lektury.

Gdzie leży problem?

Aby być matematykiem, nie potrzeba nam lat studiów. Można królową nauk opanować samodzielnie. Jednak na samouków czyha wiele pułapek. Jeśli nie jest się prowadzonym przez mentora, można opanować wiedzę chaotycznie. Można wspaniale wykonywać konkretne czynności: obliczyć pochodną, wyznaczyć ekstremum funkcji, do zestawu danych obserwacyjnych dobrać odpowiednią krzywą. Ale już analiza ogólnych własności matematycznych obiektów (a ta jest często ważna, nie mówiąc, że kluczowa) nastręcza kłopotów. Sam studiowałem matematykę i obserwowałem swoich nauczycieli. Zdołałem się nauczyć tego, o czym opowiem. A że moje doświadczenie sięga już trzydziestu lat, chyba zatraciłem wyobrażenie, że samo uświadomienie sobie konieczności wykonania pewnych czynności może być trudne. Gdzie leży problem? To najważniejsze i wydawałoby się najprostsze pytanie. A okazuje się najtrudniejsze.

Przywołam trzy przykłady procedur o wzrastającym stopniu złożoności.

Rozgrzewka

Rozwiązania niektórych problemów są (przy pewnym doświadczeniu ucznia) proste i nie wymagają większego zastanowienia. Jest tak ze znaną nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną. Dlatego to zadanie często pojawia się w zestawach maturalnych. W czym rzecz?

Udowodnić, że jeśli \(a>0\) oraz \(b>0\), to \(\dfrac{a+b}{2}\xge\sqrt{ab}.\)

Tutaj wystarczy przeprowadzić pewne rachunki, więc procedura nie jest skomplikowana. Jedyną trudnością jest określenie, jakie to mają być rachunki. Jeśli uczeń potrafi przekształcać wyrażenia algebraiczne oraz nierówności, to zapisze nierówność w równoważnej postaci\[a-2\sqrt{ab}+b\xge 0.\] Jeśli zna wzory skróconego mnożenia, to zauważy, że ta nierówność to nic innego jak\[\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2\xge 0,\]co jest oczywistą prawdą, bo kwadrat każdej liczy rzeczywistej jest nieujemny. W ten sposób kończymy dowód.

Właściwa rzeczy kolejność

Myślenia algorytmicznego bardzo dobrze uczy geometria. Przypuśćmy, że rozwiązujemy następujące zadanie.

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(6\), zaś jego krawędź boczna ma długość \(2\sqrt{15}.\) Wyznaczyć kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

Tu już kolejność wykonywanych czynności nie jest oczywista. O co w zadaniu chodzi? O wyznaczenie jakiegoś kąta. Kąt ma ramiona. Więc jakie są ramiona szukanego kąta? Gdzie ten kąt możemy zmierzyć? To zasadnicze pytanie.

Bardzo pomaga zrobienie rysunku (poniższy rysunek zapożyczyłem z portalu szaloneliczby.pl, zadanie 35).

Szukanym kątem jest \(\alpha.\) Czego potrzeba do jego wyznaczenia? Trójkąt \(SOE\) jest prostokątny, mamy jedną przyprostokątną \(|SO|=6\) (z danych zadania). Gdybyśmy mieli jeszcze długość \(|OE|=c\), to \(\dfrac{6}{c}=\tg\alpha\) i nasz kąt jest wyznaczony. Kolejne pytanie, jak obliczyć \(c\)? Jest to połowa długości krawędzi podstawy. Ale popatrzmy na połówkę przekątnej podstawy: \(|OC|=b.\) Jeśli obliczymy \(b\), to łatwo znajdziemy i \(c\), gdyż \(b=c\sqrt{2}.\)

W tym miejscu możemy zacząć obliczenia. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\) wyznaczamy \(b=2\sqrt{6}\) (pomijam szczegóły rachunkowe), więc \(c=\dfrac{b}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}.\) Jesteśmy już blisko końca, gdyż \(\tg\alpha=\dfrac{6}{c}=\sqrt{3},\) więc kąt \(\alpha\) ma \(60^{\circ}\) i zadanie jest rozwiązane.

Trudność polegała tu na ustaleniu, jakie wielkości są potrzebne, aby wyznaczyć inne wielkości.

O co właściwie chodzi?

Ostatni przykład pochodzi z praktyki nauczyciela akademickiego.

Wykazać, że zbiór \(W=\bigl\{f\colon\RR\to\RR:f(1)=0\bigr\}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej \(V=\RR^{\RR}\) wszystkich funkcji \(f\colon\RR\to\RR.\)

Prawdziwy matematyczny miszmasz. O co w ogóle chodzi? Czym są obiekty występujące w zadaniu? Przypuśćmy, że tę trudność pokonaliśmy i wiemy, czym jest przestrzeń liniowa. A o jakiej przestrzeni mowa w zadaniu? Jest to \(V=\RR^{\RR}\), której wektorami są funkcje \(f\colon\RR\to\RR.\) Musimy pokazać, że zbiór \(W\) jest podprzestrzenią \(V\). Jak to zrobić? Trzeba sobie przypomnieć warunek równoważny bycia podprzestrzenią liniową. Jest nim \(\alpha f+\beta g\in W\) dla wszystkich \(\alpha,\beta\in\RR.\) I ten warunek musimy sprawdzić. Ale to dopiero początek. Co on w ogóle znaczy? Że niezależnie jakie wybierzemy \(f,g\in V\) oraz \(\alpha,\beta\in\RR\), zawsze \(\alpha f \beta g\in W.\) A to co? Kiedy zachodzi ta przynależność? I tu kolejna sprawa, kiedy jakaś funkcja jest elementem zbioru \(W\)? Musimy więc cierpliwie rozpisać to, co wiemy.

Wybierzmy więc dwie dowolne funkcje \(f,g\in W\). Oznacza to, że \(f(1)=0\) oraz \(g(1)=0.\) Wybierzmy też dowolne liczby \(\alpha,\beta\in\RR.\) Należy sprawdzić, że \(h=\alpha f+\beta g\in W\), czyli, że \(h(1)=0.\) Ale\[h(1)=\alpha f(1)+\beta g(1)=\alpha\cdot 0+\beta\cdot 0=0\]i to kończy dowód.

W żadnym wypadku nie chodzi tutaj o jakieś skomplikowane rachunki. Te są nadzwyczaj proste. Chodzi o zdanie sobie sprawy, jakimi obiektami operujemy i jakie w ogóle czynności należy na nich wykonać.

Szkoła konsekwencji

Rozumowania matematyczne muszą być prowadzone cierpliwie i starannie, z wielką dbałością o szczegóły. Czym się zajmujemy? Jakie własności mają badane obiekty? Jak z nich skorzystać? Świadomość konieczności postawienia sobie tych kluczowych pytań często nie jest dostępna adeptom matematyki. Nie myślę tu wyłącznie o uczniach. Patrząc na trzeci przykład przekonujemy się, że te rzeczy są też trudne dla studentów matematyki. Aby nauczyć się czegoś operatywnie, nie wystarczy lektura podręcznika, niezbędnych definicji i twierdzeń. Umiejętności doskonalą się w boju, w warunkach frontowych, niejednokrotnie w zaskoczeniu, jak wiele jeszcze nie rozumiemy.

Po dziesięciu latach praktyki

Skąd pilot wie, do czego służą te wszystkie przyciski?
Jaka jest procedura startowa?

2 myśli w temacie “Matematyczna procedura

  1. Współczesne szkolnictwo matematyczne cierpi znowuż na inną przypadłość — uczy TYLKO procedury. Wyznacz \(x\), znajdź miejsce zerowe. Nikt natomiast nie odpowiada na tak z pozoru oczywiste pytania ,,po co”. Ja osobiście wpadłem w pułapkę umiejętności odpowiedzenia na to pytanie, uważając, że ,,po co” logicznie wyjaśni ,,jak”. Cóż — błąd to nie tylko akt kreatywności ale częściej zimny prysznic pokazania jak daleko do stwierdzenia, że coś się rozumie.

    • Dokładnie – często łapię się na tym, że jadę wg określonego schematu, podczas gdy zapytany po co właściwie to robię – nie wiem. Współczesne szkolnictwo to jedno, ale jednak koniec końców na naszych głowach powinno być nasze kształcenie. Polecam nie zrzucać swoich problemów na barki innych i brać się za samodzielną naprawę.

Napisz komentarz