Matematyka na placu zabaw

Jestem ojcem trójki dzieci, dlatego czasem odwiedzam place zabaw. Dzieci spokojnie się bawią, a ojciec oddaje się rozmyślaniom zwłaszcza wtedy, gdy nastrajają do tego urządzenia żywcem wzięte ze świata matematyki. Zapraszam do obejrzenia kilku moich obserwacji.

Rzeka Olza dzieli Cieszyn na dwie części: polską i czeską. Niedawno dwa parki miejskie leżące przy rzece zintegrowano tworząc rozległe międzynarodowe tereny spacerowe, rekreacyjne i zabawowe. Pierwsze zdjęcie pochodzi z placu zabaw położonego po czeskiej stronie.

Widzimy tu dwa dwunastościany foremne złączone ścianami. Matematycy wiedzą, że wielościanów foremnych nie ma zbyt wiele: istnieje ich tylko pięć. Niedawno czytając książkę świetnych krakowskich popularyzatorów matematyki Krzysztofa Ciesielskiego i Zdzisława Pogody (Królowa bez Nobla, Demart SA 2013), natknąłem się na bardzo prosty dowód tego faktu. Rozpoczynamy od określenia wielościanu foremnego. Jasne jest, że jego ścianami są wielokąty foremne. Jednak to nie determinuje jeszcze wielościanu foremnego. Łącząc podstawami dwa czworościany foremne nie uzyskujemy wielościanu foremnego. Powodem są naroża. W dwóch zbiegają się trzy ściany, a w trzech cztery ściany. Nie wszystkie naroża są więc jednakowe. Dlatego wielościanem foremnym jest wielościan o ścianach będących wielokątami foremnymi i o identycznych narożach (tzn. w każdym wierzchołku zbiega się tyle samo ścian, oczywiście co najmniej trzy). Do kompletu zauważmy jeszcze, że w każdym wierzchołku suma kątów wewnętrznych musi być mniejsza niż $360^{\circ}$. W każdym wielokącie foremnym o liczbie boków większej niż $5$ kąty wewnętrzne są nie mniejsze niż $120^{\circ}$, przez co suma już trzech takich kątów to co najmniej $360^{\circ}$. Dlatego ścianami wielościanów foremnych mogą być tylko trójkąty równoboczne, kwadraty bądź pięciokąty foremne. Rozważmy najpierw trójkąty równoboczne. Ze względu na sumę kątów wewnętrznych mniejszą niż $360^{\circ}$, w narożu może się ich schodzić trzy (odpowiada to czworościanowi foremnemu), cztery (ośmiościan foremny) lub pięć (dwudziestościan foremny). Sześć trójkątów daje już dokładnie $360^{\circ}$, więc ten przypadek nie jest możliwy. Kolej na kwadraty. W narożu mogą się schodzić jedynie trzy (sześcian), bo $4\cdot 90^{\circ}=360^{\circ}$. Pozostały pięciokąty foremne. Kąt wewnętrzny takiego wielokąta ma $108^{\circ}$, więc w narożu mogą się schodzić tylko trzy pięciokąty. Odpowiada to widocznemu na obrazku dwunastościanowi foremnemu. Każdej arytmetycznej możliwości schodzenia się wielokątów w narożach odpowiadał wielościan. Kończy to nasze rozumowanie. Rzeczywiście, istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych (inaczej platońskich). Są to czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan.

Kolejne zdjęcie prezentuje ten sam plac zabaw.

Spostrzegamy tu pająka do wspinania się. Ma on kształt powierzchni siodłowej. Możemy ją też zaobserwować na przełęczy górskiej. Znajduje się tam punkt siodłowy. W terminologii geograficznej jest to położenie przełęczy. Wjeżdżając drogą na przełęcz, a następnie z niej zjeżdżając, punkt ten znajduje się najwyżej. Odbywając wędrówkę grzbietem górskim najpierw schodzimy, a potem podchodzimy, przełęcz jest więc punktem najniższym. Z punktu widzenia matematyki punkt siodłowy ma tę własność, że w dowolnie małym jego otoczeniu znajdują się zarówno punkty położone poniżej, jak i powyżej płaszczyzny stycznej.

Powierzchnia siodłowa nazywana jest paraboloidą hiperboliczną. Bierze się to od jej przekrojów płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn układu współrzędnych. W odpowiednio dobranym układzie $xyz$ powierzchnia ta ma równanie\[z=x^2-y^2.\]Przecinając ją płaszczyznami o równaniach $z=z_0\ne 0$ (równoległymi do płaszczyzny $xy$), otrzymujemy hiperbole, a dla $z_0=0$ mamy równanie $x^2-y^2=0$ opisujące sumę dwóch przecinających się prostych $y=\pm x$. Zawsze mnie to fascynowało: na powierzchni siodłowej mimo widocznego znacznego zakrzywienia istnieją dwie proste. Przecinając powierzchnię siodłową płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn $xz$ i $yz$ (odpowiednio o równaniach $y=y_0$ oraz $x=x_0$) otrzymujemy parabole.

Ostatnie z prezentowanych dziś zdjęć wykonałem w Szczyrku.

Urządzenie do wspinania się na nie ma kształt jednej z ciekawszych powierzchni pojawiających się w matematyce. Jest nią wstęga Möbiusa. Można ją otrzymać skręcając pasek papieru i sklejając go węższymi końcami. Jest to powierzchnia jednostronna. Wędrując po wstędze Möbiusa odwiedzamy obie ,,strony” naszego paska bez przechodzenia z jednej na drugą. Powodem jest właśnie specyficzny sposób sklejenia paska. Kształt wstęgi Möbiusa ma również symbol recyklingu, a także niektóre rollercoastery. Równanie wstęgi nie należy do intuicyjnych. Jedną z możliwości zapisania go w układzie kartezjańskim jest postać parametryczna:\[\left\{\begin{aligned}x&=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos u\,,\\[1ex]y&=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin u\,,\\[1ex]z&=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}\,,\end{aligned}\right.\]gdzie $0\xle u<2\pi$ oraz $-1\xle v\xle 1$.

Zachęcam Czytelników do samodzielnych poszukiwań innych obiektów o charakterze matematycznym występujących w życiu codziennym.