O szukaniu kota w mieszkaniu

Każdy posiadacz kota wie, że to miłe zwierzę potrafi się tak ukryć w mieszkaniu, że jego znalezienie graniczy z cudem. Tak samo jest w matematyce z tzw. dowodami egzystencjalnymi. Zapraszam do lektury.

Dowód konstruktywny a egzystencjalny

Matematyka zna twierdzenia orzekające istnienie pewnych obiektów.

Dowody konstruktywne podają, jak je zbudować. Mają więc w sobie coś z nauk empirycznych, gdzie podstawowym warunkiem uznania jakiegoś zjawiska za ważne jest możliwość jego odtworzenia. Mając instrukcję obsługi, możemy po prostu samodzielnie coś zbudować (no może z pomocą fachowca).

Dowody egzystencjalne natomiast dostarczają argumentów, dla których istnienie badanych obiektów jest koniecznością, bez której gmach królowej nauk zostanie zburzony, a skoro jeszcze stoi i nieźle się trzyma, to… Jednak nie podają one sposobu konstrukcji.

W tym drugim przypadku jest więc tak samo jak z szukaniem kota w mieszkaniu. Jeśli zwierzę nie chce być znalezione, to nie sposób go odszukać. A przecież wiemy, że jest gdzieś w zakamarkach szaf czy innych mebli.

Przykładowe twierdzenie z dowodami obu rodzajów

Dobrą ilustracją omawianego tematu jest twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego.

Twierdzenie, Dana jest funkcja ciągła \(f\colon[a,b]\to\RR\) o tej własności, że \(f(a)<0\) oraz \(f(b)>0.\) Wtedy funkcja \(f\) ma w przedziale \((a,b)\) miejsce zerowe, tzn. istnieje co najmniej jeden punkt \(c\in(a,b)\) spełniający warunek \(f(c)=0.\)

Dowód konstruktywny

Niech \(a_1=0\), \(b_1=b\). Niech \(c_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}.\) Jeśli \(f(c_1)=0\), to dowód jest zakończony. Jeśli nie, to albo \(f(c_1)<0\) i wtedy określamy \(a_2=c_1\), \(b_2=b_1\), albo \(f(c_1)>0\) i wtedy określamy \(a_2=a_1\), \(b_2=c_1\). Zauważmy, że zawsze \(a_1\xle a_2\) oraz \(b_2\xle b_1\). Mamy też \(f(a_2)<0\), \(f(b_2)>0\) oraz \(b_2-a_2=\dfrac{b-a}{2}\).

Powtarzamy ten proces startując od \(a_2,b_2\) i odpowiednio definiując \(a_3,b_3\) itd. Jeśli na żadnym z etapów konstrukcji nie natrafimy na miejsce zerowe, to zbudowaliśmy dwa ciągi: niemalejący \((a_n)\) i nierosnący \((b_n)\), dla których \(a_n<b_n\), \(f(a_n)<0\), \(f(b_n)>0\) oraz \(b_n-a_n=\dfrac{b-a}{2^{n-1}}.\) Wynika stąd, że oba ciągi mają wspólną granicę \(c\in(a,b)\). Skoro \(c=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\), to na mocy ciągłości wnosimy, że \(f(c)=\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)\xle 0.\) Podobnie, ponieważ \(c=\lim\limits_{n\to\infty}b_n\), to \(f(c)=\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)\xge 0.\) Zatem \(f(c)=0\), co kończy dowód.

Zauważmy, że miejsce zerowe \(c\) zostało skonstruowane. Dokładniej, został podany algorytm jego konstrukcji, który można zastosować dla każdej funkcji ciągłej spełniającej założenia twierdzenia. Dowód jest więc konstruktywny.

Dowód egzystencjalny

W dziedzinie matematyki zwanej topologią mamy pojęcie przestrzeni spójnej. Jest to taka przestrzeń, która nie da się przedstawić w postaci sumy \(A\cup B\), gdzie \(A,B\) są dwoma niepustymi rozłącznymi zbiorami otwartymi. Podstawowe twierdzenie w teorii przestrzeni spójnych głosi, że obraz przestrzeni spójnej przez funkcję ciągłą jest przestrzenią spójną.

Przypuśćmy, że funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego.

Przedział domknięty \([a,b]\) jest przestrzenią spójną. Ale jego obraz \(f\bigl([a,b]\bigr)\) jest więc zawarty w zbiorze \(\RR\setminus\{0\}\). Ponieważ \(f(a)<0\), to \(f(a)\in f\bigl([a,b]\bigr)\cap(-\infty,0)\ne\emptyset\). Podobnie skoro \(f(b)>0\), to \(f(b)\in f\bigl([a,b]\bigr)\cap(0,\infty)\ne\emptyset\). Oba wskazane tu zbiory są otwarte i rozłączne w topologii przestrzeni \(f\bigl([a,b]\bigr)\) a ich suma jest całym obrazem \(f\bigl([a,b]\bigr)\). Obraz ten nie jest więc przestrzenią spójną, co przeczy wspomnianemu twierdzeniu, wobec tego nasze przypuszczenie jest niesłuszne, czyli funkcja \(f\) ma… kota… przepraszam… miejsce zerowe.

Tak! W tym dowodzie miejsce zerowe istnieje, ale nikt nie wskazał, jak je znaleźć. Tak jak z tym kotem w mieszkaniu. Jest to więc dowód istnienia, czyli dowód egzystencjalny.

Konkluzja

Studiując dowody twierdzeń matematycznych warto analizować ich strukturę choćby właśnie pod kątem konstruktywności czy egzystencjalności. Czytelników z przygotowaniem matematycznym zachęcam do wyszukiwania własnych przykładów twierdzeń, które mają oba rodzaje dowodów.

Napisz komentarz