Rozprawka o metodzie

Często studenci nauczeni gombrowiczowskim doświadczeniem szkolnym pytają mnie czy zaproponowane zadanie muszą rozwiązywać taką metodą, jaką zaprezentowałem podczas zajęć. Odpowiadam wtedy, że mogą zastosować dowolną metodę, ale pod jednym warunkiem: musi być poprawna. Tak! Do rozwiązania wiedzie często wiele dróg i nie tylko jedna jest dobra. Dziś rozwinę tę myśl. Zapraszam do lektury.

Dość często w zestawach maturalnych pojawiają się równania trygonometryczne. Jedno z nich wybrałem do prezentacji myśli o wielu drogach prowadzących do rozwiązania zadania.

Temat zadania

Rozwiązać równanie\[\sin x+\cos x=0.\]

Pierwsza metoda

Poniższą metodę zastosowałem w filmie, którym wyróżniłem dzisiejszy artykuł. Polega ona na wykorzystaniu wzoru na sinus sumy:\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\]Mnożąc obie strony naszego równania przez $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ otrzymujemy\[\sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0\]i po zauważeniu, że $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}$ dochodzimy do równości\[\sin x\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos x\cdot\sin\dfrac{\pi}{4}=0.\]Po skorzystaniu ze wspomnianego wzoru nasze równanie przybiera postać\[\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0,\]z której wnosimy, że\[x+\frac{\pi}{4}=k\pi,\]gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą (w skrócie $k\in\mathbb{Z}$). Dlatego\[x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\text{ gdzie }k\in\mathbb{Z},\]co stanowi rozwiązanie rozważanego równania.

Druga metoda

Można też postąpić inaczej. Skoro\[\sin x+\cos x=0,\] to równoważnie \[\sin x=-\cos x.\]Podzielmy teraz obie strony równania przez $\cos x$. Należy oczywiście zadbać o to, aby $\cos x\ne 0$. Ale jeśli $\cos x=0$, to na pewno $\sin x\ne 0$, więc równanie nie jest spełnione i śmiało można założyć, że $\cos x\ne 0$. Dlatego\[\frac{\sin x}{\cos x}=-1,\]więc wyjściowe równanie jest równoważne równaniu\[\tg x=-1,\]skąd łatwo wnosimy, że\[x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\text{ gdzie }k\in\mathbb{Z}.\]

Która metoda jest lepsza?

Jeśli deklaruję, że do rozwiązania zadania można użyć dowolnej (byle poprawnej) metody, to dlaczego w ogóle zadaję to pytanie??? Często jednak rzeczy nie wyglądają tak jak je zewnętrznie postrzegamy. Gdzieś istnieje drugie dno. Metoda z zastosowaniem tangensa wydaje się krótka i elegancka, więc czemu zdecydowałem w filmie pokazać dość zawiłe rozwiązanie oparte na sinusie sumy? Otóż uważam, że metody tangensowej nie zastosujemy nigdzie indziej: rozwiążemy nią zadane równanie i na tym koniec. Metoda pierwsza natomiast doskonale sprawdza się w zupełnie nieoczekiwanym miejscu.

Przypuśćmy teraz, że chcemy znaleźć wartości najmniejszą i największą funkcji $f(x)=\sin x+\cos x$. Na pozór sprawa wygląda banalnie: skoro $-1\xle\sin x\xle 1$ oraz $-1\xle\cos x\xle 1$, to po dodaniu obu nierówności stronami otrzymujemy $-2\xle f(x)\xle 2$. Tak — to poprawne oszacowanie wartości badanej funkcji. Poprawne, ale zupełnie bezużyteczne! Okazuje się bowiem, że nasza funkcja nigdy nie przyjmuje ani wartości $-2$, ani wartości $2$. Aby się o tym przekonać, można oczywiście (używając dowolnego programu przeznaczonego do tego celu) sporządzić wykres funkcji $f$. Ale można też poprowadzić ścisłe rozumowanie.

Postępując identycznie jak w pierwszej metodzie rozwiązania wyjściowego równania $f(x)=0$ widzimy, że\[\frac{\sqrt{2}}{2}f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).\]Prawa strona przyjmuje wartości najmniejszą $-1$ dla $x=-\dfrac{3}{4}\pi+2k\pi$ oraz największą dla $x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ (gdzie $k\in\mathbb{Z}$). Dlatego wartością najmniejszą funkcji $f$ jest $-\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}>-2$, a wartością największą funkcji $f$ jest $\sqrt{2}<2$.

Podsumowanie

Nauka matematyki nie powinna ograniczać się do nauki algorytmów. Powinna uczyć refleksji, analizy stosowanych metod, a także podejścia krytycznego do rozważanych zagadnień. Spostrzeżenie, że daną metodę można zastosować także gdzie indziej, nie należy do oczywistych. Jest kwestią doświadczenia osoby rozwiązującej. Ale z pozycji nauczyciela zawsze warto dokonać na zajęciach analizy podobnej do tutaj przedstawionej. Pytania powinny rodzić pytania. Takich postaw powinniśmy nauczać. Może nie każdy będzie w realnym życiu rozwiązywał dokładnie takie równanie. Ale widząc metodę jego rozwiązania i pamiętając luźne rozważania starego belfra dostrzeże czasem, że coś kiedyś rozwiązywano tak i tak. I o to właśnie chodzi. Umiejętność rozwiązania problemu jest niezmiernie ważna. Ale jeszcze ważniejszy jest dobry warsztat!