Powracam dziś do związków twierdzenia Lagrange’a ze średnimi. Przypomnę, że jeśli funkcja $f$ o wartościach rzeczywistych jest ciągła w przedziale $[a,b]$ i różniczkowalna w przedziale $(a,b)$, to w myśl twierdzenia Lagrange’a istnieje punkt $\xi\in(a,b)$ taki, że
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi).\label{eq:Lagr}\tag{1}\] Skoro $\xi\in(a,b)$, to można powiedzieć, że $\xi$ jest jakimś rodzajem średniej liczb $a,b$. W temacie Trójmiany kwadratowe a twierdzenie Lagrange’a pokazałem, że jeśli $f$ jest trójmianem kwadratowym, to $\xi$ jest średnią arytmetyczną liczb $a,b$. Średnie otrzymane z użyciem twierdzenia Lagrange’a nazwiemy średnimi Lagrange’a. Zobaczmy, jakie średnie Lagrange’a generują inne funkcje.
- Niech $f(x)=\frac{1}{x}$ oraz niech $a,b>0$. Wtedy wzór \eqref{eq:Lagr} prowadzi do równości\[\frac{\tfrac{1}{b}-\tfrac{1}{a}}{b-a}=-\frac{1}{\xi^2},\]z której łątwo wyliczamy $\xi^2=ab$, skąd $\xi=\sqrt{ab}$ jest średnią geometryczną liczb $a,b$.
- Niech $f(x)=\ln x$ oraz $a,b>0$. Wtedy z \eqref{eq:Lagr} otrzymujemy\[\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi},\] czyli \[\xi=\dfrac{b-a}{\ln b-\ln a}.\] Jest to średnia logarytmiczna liczb $a,b$. Ma ona zastosowanie w termodynamice w zagadnieniach związanych z wymiennikami ciepła.
- Można wykazać, że średnia harmoniczna nie jest średnią Lagrange’a. Jeden z dowodów znajduje się w pracy autorów Lucio R. Berrone oraz Julio Moro zatytułowanej Lagrangian means, opublikowanej w czasopiśmie Aequationes Mathematicae, tom 55 (1998), str. 217–226.
Zapraszam do własnych eksperymentów z innymi funkcjami.
Fajne, dzięki!
Można dodać, że uogólnionym twierdzeniem Lagrange’a jest twierdzenie Cauchy’ego, w przypadku której pomocne staje się twierdzenie Rolle’a… idąc tym tropem można dojść do wniosku, że pojęciu średniej kłania się analiza 🙂
Oczywiście rozważa się też średnie Cauchy’ego. Bada się całe rodziny średnich. Np. klasyczne wyniki dotyczą monotoniczności rodziny średnich potęgowych czy Stolarskiego ze względu na występujące w nich parametry – rzędy. Klasyczne średnie Stolarskiego otrzymujemy z twierdzenia Lagrange’a dla $f(x)=x^p$, a uogólnione średnie Stolarskiego – z twierdzenia Cauchy’ego dla funkcji $f(x)=x^p$ oraz $g(x)=x^q$.