Strzelać z armaty i zabić muchę… Znam stary dowcip, który nie do końca nadaje się do powtórzenia. Sens jest taki, że trzech panów różnych narodowości (w tym Polak – jak zawsze najmądrzejszy, najzwinniejszy, najszybszy i najsprytniejszy) stara się różnymi narzędziami zabić muchę. Tytułowa armata, karabin maszynowy. Po użyciu tych narzędzi oczywiście mucha ginęła. A Polak dysponując skromnym pistoletem nie zabił muchy, lecz precyzyjnie celując spowodował u niej trwały uszczerbek na zdrowiu.
W jakimś podręczniku analizy matematycznej znalazło się zadanie, w którym należało wykazać, że jeśli funkcja $f:[0,1]\to[0,1]$ jest ciągła, to istnieje \(x\in[0,1]\) takie, że \(f(x)=x\). W zaproponowanym króciutkim dowodzie powołano się na twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Istotnie, mamy do czynienia z bodajże najprostszym przypadkiem tego bardzo ważnego i poważnego twierdzenia z topologii. To jest opisywana armata.
Czyż nie można prościej?
Jeśli \(f(0)=0\) lub \(f(1)=1\), to nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc bez straty ogólności, że \(f(0)>0\) oraz \(f(1)<1\). Niech \(g(x)=f(x)-x\). Trywialnie spostrzegamy, że \(f(x)=x\iff g(x)=0\). Ponadto \(g(0)>0\) oraz \(g(1)<0\). Ponieważ funkcja \(g\) jest ciągła w przedziale \([0,1]\) i przyjmuje na jego końcach wartości różnych znaków, to na mocy twierdzenia Bolzano-Cauchy’ego ma w przedziale \((0,1)\) miejsce zerowe, co kończy dowód.
Ja na zajęciach z analizy matematycznej lubię to zrobić jeszcze inaczej, niejako wpychając dowód twierdzenia Bolzano do rozumowania. Jest dłużej, ale moim zdaniem ciekawiej. Jeśli $f(0)=0$, to już jest koniec, podobnie gdy $f(1)=1$. Czyli możemy założyć, że $f(0)>0$ i $f(1)<1$. Niech teraz $A$ będzie zbiorem wszystkich punktów dziedziny, dla których zachodzi nierówność $f(x)>x$. Mamy $0\in A$, czyli $A$ jest niepustym zbiorem ograniczonym z góry przez $1$. Drugi zbiór, powiedzmy $B$, tworzymy analogicznie, tylko, że patrzymy na wszystko nie ,,z dołu”, tylko ,,od góry”. Czyli $B$ definiujemy jako zbiór wszystkich punktów dziedziny, dla których zachodzi nierówność $f(x) < x$. Każdy widzi, że oba zbiory są rozłączne. Po chwili namysłu określamy ich własności topologiczne i wnioskujemy, że w przedziale $[0,1]$ musi być jeszcze coś, co nie należy do żadnego z obu zbiorów (mamy tutaj kilka możliwości, zależnie co studenci zapamiętali z wykładu).
Dziękuję za ciekawy komentarz. Pięknie wyeksponowałeś tu spójność, którą zakłada się w wersji twierdzenia Bolzano dla funkcji wielu zmiennych.
Inne przykłady armat to stosowanie reguły de l’Hospitala do liczenia prostych granic czy wykorzystywanie rachunku różniczkowego do badania funkcji kwadratowej 😉
Dziękuję za przepisanie komentarza ze starej wersji bloga.