Wyobraźmy sobie mapę Polski. Niech będzie to dość duża mapa samochodowa tak, żeby łatwo było lokalizować miejsca (ale nie ma to większego znaczenia dla dzisiejszego wywodu). Bierzemy mapę do samolotu i w czasie lotu zrzucamy w dół. Przypuśćmy, że mapa spadła płasko tak, że cała znajduje się w granicach Polski (lot nie odbywa się blisko granicy). I cóż? Każdy może taką mapę zrzucić. Okazuje się jednak, że niezależnie jak mapa upadnie, to zawsze istnieje na powierzchni Polski punkt, który pokrywa się ze swoim obrazem na mapie. Co więcej, taki punkt jest dokładnie jeden. Akurat tę rzecz można sobie łatwo wyobrazić, bo odległości na mapie są przecież znacznie krótsze niż te rzeczywiste.
Za tą prostą opowiastką kryje się całkiem poważna matematyka. W roku 1922 w założonym dwa lata wcześniej przez Zygmunta Janiszewskiego, Stefana Mazurkiewicza i Wacława Sierpińskiego i istniejącym do dziś czasopiśmie Fundamenta Mathematicae ukazała się praca Stefana Banacha zatytułowana Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Fund. Math. 3 (1922), 133–181). Można ją bezpłatnie pobrać z Kolekcji Matematycznej ICM, a dla uniknięcia konieczności poszukiwania umieściłem ją też na blogu. Na stronie 330 (strona 15 pliku pdf) znajdujemy Twierdzenie 6 głoszące, że jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, a odwzorowanie $f:X\to X$ spełnia dla pewnej liczby $\alpha\in(0,1)$ oraz dla wszystkich $x,y\in X$ warunek $\|f(x)-f(y)\|\xle\alpha\|x-y\|$, to istnieje dokładnie jeden punkt $x_0\in X$ (zwany punktem stałym odwzorowania $f$) spełniający warunek $f(x_0)=x_0$ . Wyrażenie $\|u-v\|$ (norma wektora $u-v$) opisuje odległość od $u$ do $v$. Tak więc wspomniana powyżej nierówność mówi, że odległości obrazów są mniejsze niż odległości punktów (a nawet dużo więcej, w szczególności odległości obrazów nie mogą być dowolnie bliskie odległości punktów). Funkcję $f$ spełniającą taką nierówność nazywamy odwzorowaniem zwężającym lub kontrakcją.
Twierdzenie Banacha można więc sformułować krótko: każda kontrakcja przestrzeni Banacha w siebie ma dokładnie jeden punkt stały.
Jak odszyfrować to twierdzenie w omawianym kontekście mapy? Otóż $X$ to powierzchnia Polski, kładziemy na nią mapę, tzn. odwzorowanie $f$ działa z powierzchni Polski na mapę. To, że $x_0$ jest punktem stałym oznacza, że $f(x_0)=x_0$, czyli, że punkt $f(x_0)$ (obraz punktu $x_0$ na mapie) pokrywa się z samym punktem $x_0$. Taki punkt jest wyznaczony jednoznacznie.
Odwzorowanie, mapa. Może dlatego jednym z angielskich synonimów słowa odwzorowanie jest map.
Sam dowód twierdzenia Banacha nie jest specjalnie trudny, jeśli zna się pojęcie przestrzeni Banacha (najbardziej chodzi o zupełność) oraz ciągu Cauchy’ego. Startując od dowolnie ustalonego $y\in X$ tworzymy ciąg iterat $y,\;f(y),\;f\bigl(f(y)\bigr),\;\dots\;$ i pokazujemy, że jest on ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę $x_0$, która jest punktem stałym odwzorowania $f$. Jednoznaczność punktu stałego wynika z warunku kontrakcji.
Intuicja jest sugestywna choć czasami zwodna. Ale wyobraźmy sobie taką mapę, na której maleńki kamyk z bruku Placu Chrobrego w Bielsku-Białej jest zaznaczony. Zamiast samolotu niech będzie balon połączony nieskończenie cienką nicią z owym kamykiem na Placu Chrobrego. Na nić nanizujemy mapę i pozwalamy jej zsunąć się na Plac w B-B. Odznaczając na mapie sąsiedni kamyk zauważamy, że miejsce to odpowiada na mapie Kętom albo Węgierskiej Górce a nie drugiemu kamykowi na Placu. Stąd można chyba wyprowadzić ten wniosek o jednym i jedynym punkcie?
Tak, to jest dobra intuicja. Formalnie, jeśli $f(x_0)=x_0$ oraz $f(x_1)=x_1$, to $\|x_0-x_1\|=\|f(x_0)-f(x_1)\|\xle\alpha\|x_0-x_1\|$, skąd $(1-\alpha)\|x_0-x_1\|\xle 0$. Ale $1-\alpha>0$, więc nie ma innej możliwości (wobec nieujemności odległości), jak $\|x_0-x_1\|=0$, czyli $x_0=x_1$.
A jak to jest ciągłościa odwzorowania? Jeśli na powierzchni odwzorowanej jest co najmniej jeden punkt tożsamy z powierzchnia odwzorowywana, a odwzorowanie przebiegać może dowolnie to czy to oznacza, iż przestrzenie te maja taka sama ilość punktów mimo rożnej powierzchni? Bo to rodzi kolejne pytania podstawowe…
W zasadzie nie mówimy tu o dwóch przestrzeniach, a o jednej. Chodzi o coś w rodzaju obrazu jednokładnego (ale omawiane odwzorowanie może mieć zupełnie inną naturę, np. coś związanego z obrotem, a ogólnie odwzorowanie zmniejszające odległości – kontrakcja). To tak jakby narysować mapę Polski na… samej powierzchni Polski.
Przekształcamy przestrzeń w siebie, co oznacza, że obraz przestrzeni odwzorowywanej, jak to nazywasz, jest jej podzbiorem, a więc ma nie więcej punktów niż ona sama. Miałby tyle samo, gdyby odwzorowanie miało pewną własność zwaną przez matematyków surjektywnością.
Co do ciągłości – punkty stałe mogą posiadać zarówno odwzorowania ciągłe, jak i nieciągłe. Jeśli mówimy już o ciągłych, jest piękne twierdzenie Brouwera mówiące o ciągłych odwzorowaniach zwartego i spójnego podzbioru przestrzeni n-wymiarowej w siebie. Każde takie odwzorowanie ma punkt stały, ale niekoniecznie dokładnie jeden, jak w przypadku kontrakcji i twierdzenia Banacha. Interpretacja: mieszając herbatę w szklance, w każdej chwili znajdzie się punkt pozostający na swoim miejscu (nie zamieszany). Oczywiście te nie zamieszane punkty będą na ogół różne w różnych chwilach.
W twierdzeniu Banacha nie ma explicite mowy o ciągłości, ale założenie zwężania ją wymusza. Oryginalnie w pracy Banacha założenie ciągłości jest napisane, tyle, że zbędnie.
Twierdzenie Brouwera działa dla zwartych i spójnych podzbiorów przestrzeni euklidesowych. Tutaj moja dyskusja na temat istotności założeń:
https://www.researchgate.net/post/Does_the_converse_of_Brouwers_fixed_point_theorem_hold
Bardzo dziękuję za ten komentarz. Wymaga on drobnego wyjaśnienia. Rzeczywiście, odpowiadając Sławkowi Pieli, zapomniałem o założeniu spójności (co poprawiłem). Być może spowodowała to może późna pora, mniejsza z tym. Sam twierdzenie Brouwera poznałem w wersji dla kostki $n$-wymiarowej, która jest zwarta i spójna. Może dlatego zapomniało mi się o tym ważnym założeniu? Naprawdę ważnym, bo bez niego teza twierdzenia Brouwera nie zachodzi.
Otwarte zbiory wypukłe w $\mathbb{R}^n$ są homeomorficzne z kulą w $\mathbb{R}^n$, dlatego często twierdzenie Brouwera jest wypowiedziane tylko dla kostki albo kuli, bo ogólniejsza wersja łatwo wynika z takiej formy. Podobna sytuacja jest z twierdzeniem Borsuka-Ulama; działa ono dla sfer w sensie dowolnej normy w $\mathbb{R}^n$ – norma euklidesowa nie jest wcale istotna. Co więcej, dowód zwykle przeprowadza się dla sfery $\ell_1^n$ bo ta ma naturalną strukturę sympleksu.
Może inaczej zapytam. Niech $f(x)=\sin x$. Proste. To co mnie zastanawia to graficzna reprezentacja i problem ciągłości. Sinusoida zawiera dokładnie tyle samo punktów na zadanym odcinku co oś $X$. Każdy z punktów na sinusoidzie w przedziale powiedzmy od zero do $2$ odpowiada dokładnie jednemu punktowi na osi $X$. Odległość od punktu zero do dwa na osi $x$ to dwa, odległość od punktu zero do dwa po krzywej utworzonej przez sinusoidę $>2$. Jak to możliwe skoro ilość punków jest taka sama? Czego nie rozumiem? 🙂
Twoja intuicja jest taka: jeśli przyłożyć linijkę do krótszej linii, mamy na niej mniej punktów niż na linii dłuższej. Wyobraź sobie dwa odcinki, powiedzmy długości odpowiednio $1$ oraz $2$. Ustaw jeden w pionie, drugi w poziomie pod kątem prostym. Masz dwie przyprostokątne. Dorysuj przeciwprostokątną. Poziomy odcinek potraktuj jako oś $x$. No i mamy piękny wykres funkcji liniowej. Własność jest ta sama – każdemu punktowi na przekątnej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi $x$. W ten sposób ustalamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie odcinka długości $1$ na odcinek długości $2$. Dlatego te dra przedziały są równoliczne – mają tyle samo elementów mimo, że mają różne długości.
Możesz to sobie tak wyobrazić: punkty obu odcinków (przyprostokątnych) łączymy w pary w następujący sposób: mężowi na osi $x$ znajdujemy żonę tak, że prowadzimy prostą pionową i znajdujemy punkt na przecięciu z przeciwprostokątną. Teraz idziemy poziomo do tego drugiego odcinka – pionowego znajdując w przecięciu żonę. Każdemu mężowi przypiszemy dokładnie jedną żonę i na odwrót – przez procedurę odwrotną, każdej żonie odpowiada dokładnie jeden mąż. Zupełna monogamia. Mężów jest tyle samo co żon. 🙂
Kwestie, które sprawiają Ci kłopot myślowy, dotyczą właśnie równoliczności zbiorów wykraczając już poza temat twierdzenia Banacha.
Inny przykład: liczb nieparzystych jest tyle samo co parzystych. Oto argument: mężowi $1$ przypisujemy żonę $2$, mężowi $3$ – żonę $4$ itd. Znów relacja jeden na jeden.
Mogłoby się wydawać, że liczb naturalnych parzystych jest dwa razy mniej od wszystkich liczb naturalnych. Ale znów małżeństwa: mąż $2$ – żona $1$, mąż $4$ – żona $2$, mąż $6$ – żona $3$ itd. Więc każdemu mężowi $2n$ odpowiada dokładnie jedna żona $n$. Na odwrót – żona $n$ ma męża $2n$. Liczb parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych.
Zakończę obrazoburczo: liczb wymiernych jest tyle samo co naturalnych!!! Czemu? To już temat na inną opowieść. Proponuję zobaczyć mój stary tekst O paradoksach nieskończoności zamieszczony wiele lat temu na stronie służbowej.