O pewnym pierwiastku

Na facebookowym profilu jednej z moich znajomych ukazało się zadanie o temacie pokazanym na poniższym obrazku. Dyskusja, jaka wywiązała się po jego publikacji, skłoniła mnie do napisania tego artykułu. Zapraszam do lektury.

Rozwiązanie ,,fizyczne”

W swoich obliczeniach fizycy nie zawsze zwracają pilną uwagę na konieczne założenia. Zrobię tak samo. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu.\[56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\dots}}}=x^2.\]Widzimy, więc, że\[56+x=x^2,\]a po rozwiązaniu tego równania kwadratowego otrzymujemy \(x=8\) lub \(x=-7\). Oczywiście \(x>0\), więc \(x=8\).

Ale na jakiej podstawie można było tak zrobić? Przecież w samej postaci liczby \(x\) mamy do czynienia z nieskończenie wieloma krokami. Tak więc skądś musimy wiedzieć, że \(x\) w ogóle istnieje. Ten krok został tu pominięty.

Rozwiązanie matematyczne

Zauważmy, że mamy do czynienia z następującą rekurencją:\[x_0=0,\quad x_n=\sqrt{56+x_{n-1}}\quad\text{dla }n\in\NN.\]

Rzeczywiście:\begin{align*}x_0&=0,\\x_1&=\sqrt{56+x_0}=\sqrt{56},\\x_2&=\sqrt{56+x_1}=\sqrt{56+\sqrt{56}},\\x_3&=\sqrt{56+x_2}=\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56}}}\end{align*}itd. Stąd\[x=\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\dots}}}}=\lim_{n\to\infty}x_n.\]

Teraz udowodnię, że ciąg \((x_n)\) jest rzeczywiście zbieżny. Zrobię to pokazując, że jest rosnący i ograniczony z góry.

Najpierw zauważmy, że dla wszystkich \(n\in\NN\cup\{0\}\) mamy \(x_n<8\). Istotnie, \(x_0=0<8.\) Robiąc założenie indukcyjne \(x_{n-1}<8\) dochodzimy do\[x_n=\sqrt{56+x_{n-1}}<\sqrt{56+8}=\sqrt{64}=8.\]Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej teza została wykazana. Teraz sprawdzimy, że ciąg \((x_n)\) jest rosnący, tzn. dla wszystkich \(n\in\NN\) zachodzi nierówność \(x_n>x_{n-1}\). Ponieważ \(x_n>0\) oraz \(x_{n-1}\xge 0\) (co natychmiast wynika z definicji tego ciągu), jest ona równoważna nierówności\[x_n^2>x_{n-1}^2,\]czyli\[56+x_{n-1}>x_{n-1}^2.\] Dochodzimy więc do nierówności kwadratowej\[x_{n-1}^2-x_{n-1}-56<0,\] która jest równoważna temu, ze \(-7<x_{n-1}<8\), ale przecież na mocy poprzednich rozważań mamy \(0\xle x_{n-1}<8.\) Tak więc ciąg \((x_n)\) rzeczywiście jest rosnący. Na zakończenie, wiedząc już, że ciąg \((x_n)\) jest zbieżny, możemy oznaczyć \(x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n.\)Przechodzimy w rekurencji\[x_n=\sqrt{56+x_{n-1}}\]do granicy otrzymując\[x=\sqrt{56+x}\]i dalej jak w rozwiązaniu ,,fizycznym" \(x^2=56+x\), skąd, wobec \(x>0\), mamy \(x=8.\)

Konkluzja

Ciągi określone równaniami rekurencyjnymi stanowią interesujący obiekt badań matematyków i wdzięczny temat zadań. Warto wzbogacić o nie swój warsztat.

6 komentarzy do “O pewnym pierwiastku

  1. Nieskończone sumy są piękne. Da się udowodnić, i to całkiem logicznie i bez błędów, że suma wszystkich liczb naturalnych wynosi -1/12. Zaczynamy od 1-1+1-1… dające w wyniku 1/2, potem liczymy sumę 1+2-3+4-5… która daje (z niewielką pomocą poprzedniej sumy) 1/4, w końcu od sumy 1+2+3+4+5… odejmujemy poprzednią sumę, przestawiamy parę elementów i dostajemy czarno na białym wynik – 1/12 🙂

    • Oczywiście to ten fizyczny sposób. Podam inny. Otóż\[x=1+2+2^2+2^3+\dots=-1.\]Istotnie, w zapisie dwójkowym liczba po lewej stronie to \(x=\dots11111.\) Dodając jedynkę mamy (w układzie dwójkowym) same zera. Dlatego \(x+1=0\), więc \(x=-1\), czyli \(\infty=-1\). I ma to ciekawą interpretację informatyczną (przepełnienia bitowe). A wszystko bierze się z obliczeń formalnych bez uwzględnienia potrzebnych założeń zbieżności szeregu liczbowego czyli istnienia i skończoności sumy.

      To samo otrzymamy i bez układu dwójkowego. Otóż według wzoru na sumę szeregu geometrycznego mamy \[1+q+q^2+q^3+\dots=\frac{1}{1-q}\]wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\). Stąd dla \(q=2\) 🙂 otrzymujemy \(-1\). Znów fizyczne niedbalstwo w kwestii spełnienia założeń.

  2. Nie wiem czy dobrze myślę, ale dla nieskończonych fraktali składających się samych z siebie (np. dywan Sierpińskiego) można wyznaczyć z ilu dokładnie elementów on się składa? Oczywiście tylko teoretycznie.

    • Pytanie jest samo w sobie sprzeczne, bo skoro mówimy o ,,fraktalach nieskończonych” to jakże powiedzieć, z ilu części one się składają. Ale mniej więcej rozumiem intencję pytania. Np. na skonstruowanie dywanu Sierpińskiego potrzeba podzielić kwadrat na 9 mniejszych i wyciąć środek, więc mamy 8 mniejszych kwadratów. Przy trójkącie Sierpińskiego mamy 3 małe trójkąty. Po prostu cierpliwa analiza struktury fraktala pokaże sposób jego konstrukcji. Tak naprawdę mówimy o liczbie potrzebnych do konstrukcji przekształceń afinicznych. Są to te ,,części”. Dywan: 8, trójkąt: 3, kostka Mengera 26, itd. itp.

  3. Przepraszam, że piszę tutaj ale nie mam FB. Ale myślę, że i na FB warto napisać o tej sprawie. Mianowicie chodzi o pewne matematyczne pytanie z wczorajszego programu 1 z 10. Internauci są podzieleni w tej sprawie. Ja odrazu pomyślałem o Panu docencie, żeby się z tym zwrócić i żeby Pan opublikował tutaj i na FB swoje zdanie na ten temat. Przybliżę sprawę cytując stronę internetową, która podam później:

    W jednym z ostatnich odcinków programu „Jeden z dziesięciu” prowadzący Tadeusz Sznuk pomylił się w uzasadnieniu poprawności jednej z teleturniejowych odpowiedzi. Wpadkę wyłapali internauci.

    W jednym z ostatnich odcinków 127. serii teleturnieju pan Damian usłyszał następujące pytanie od Tadeusza Sznuka: „Czy liczba pierwsza może być sumą dwóch liczb pierwszych?”.

    Uczestnik słusznie odpowiedział „tak”.

    Prowadzący wyjaśniał: ”Prostym przykładem jest 2+1. Wynik 3 i każda z tych liczb jest liczbą pierwszą”. I właśnie tutaj zwrócono uwagę na błąd! Dlaczego? Liczba 1 nie może być liczbą pierwszą, bo tego typu liczby są większe od 1 i mają dwa naturalne dzielniki: siebie i 1. Liczba 1 nie jest większa od 1 i ma jeden dzielnik naturalny.

    Zacytowałem ze strony: https://film.interia.pl/telewizja/news-wpadka-tadeusza-sznuka-w-jeden-z-dziesieciu,nId,5646476

    • Tu nie można mieć swojego zdania, bo prawda jest jedna. Zacytowana tu definicja liczb pierwszych jest poprawna. Jeszcze łatwiej powiedzieć, że liczba naturalna jest pierwsza, jeśli ma dokładnie dwa dzielniki. Jedynka ma tylko jeden dzielnik, więc automatycznie odpada.

Napisz komentarz