O dwóch błędnie sformułowanych zadaniach

Czy w zadaniach egzaminacyjnych mogą pojawiać się błędy w sformułowaniach? Niestety narzucająca się odpowiedź nie jest zgodna z rzeczywistością. Dziś opowiem o dwóch zadaniach maturalnych. Zapraszam do lektury.

Oba zadania zawierające błędy w sformułowaniu pochodzą z jednego zestawu, przygotowanego przez wydawnictwo Operon na próbną maturę na poziomie podstawowym w listopadzie 2018. Arkusz można pobrać z bardzo interesującej strony arkusze.pl.

Zadanie 13

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4,6,9,\dots)\) można obliczyć ze wzoru:
A. \(n(n+3)\),   B. \(\dfrac{3n+5}{2}\cdot n\),   C. \(8\biggl[\Bigl(\dfrac{3}{2}\biggr)^n-1\Bigr]\),   D. \(2\biggl[\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^n-1\biggr].\)

Sławne trzy kropki, które w matematyce (bez dokładnego wyjaśnienia kontekstu) nie oznaczają niczego. Pierwszą rzeczą, którą rozsądny człowiek zrobi widząc taki zapis ciągu, jest próba odgadnięcia kolejnego wyrazu. Ile osób spytałem, tyle podało \(13\). Dlaczego? \(4+{\color{red}2}=6\), \(6+{\color{red}3}=9\), więc \(9+{\color{red}4}=13.\) Obliczmy sumę czterech wyrazów tego ciągu: \(4+6+9+13=32.\) A teraz wstawmy \(n=4\) do podanych w zadaniu wzorów:

A. \(4(4+3)=28\),

B. \(\dfrac{3\cdot 4+5}{2}\cdot 4=34\),

C. \(8\biggl[\Bigl(\dfrac{3}{2}\biggr)^4-1\Bigr]=\dfrac{65}{2}\),

D. \(2\biggl[\Bigl(\dfrac{3}{2}\biggr)^4-1\Bigr]=\dfrac{65}{8}\).

Żadnen z nich nie daje wartości \(32.\) Zawinił tu brak wyjaśnienia. Inne spojrzenie na podane trzy wyrazy pokazuje, że liczby \(4,6,9\) tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny którego ilorazem jest \(\dfrac{3}{2}.\) Gdyby układający zadanie dołożył odrobiny staranności, napisałby w temacie:

Sumę \(n\) początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego \((4,6,9,\dots)\) można obliczyć ze wzoru:
A. \(n(n+3)\),   B. \(\dfrac{3n+5}{2}\cdot n\),   C. \(8\biggl[\Bigl(\dfrac{3}{2}\biggr)^n-1\Bigr]\),   D. \(2\biggl[\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^n-1\biggr],\)

to sformułowanie byłoby całkowicie precyzyjne i nie budziłoby żadnych wątpliwości. Jeśli teraz przyjmiemy \(a_1=4\) oraz \(q=\dfrac{3}{2}\), to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie ogólnym \(a_n=a_1q^{n-1}\) ma wartość\[S_n=a_1\dfrac{q^n-1}{q-1}=4\dfrac{\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^n-1}{\dfrac{3}{2}-1}=4\dfrac{\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^n-1}{\dfrac{1}{2}}=8\biggl[\Bigl(\dfrac{3}{2}\biggr)^n-1\Bigr]\]i poprawną odpowiedzią jest C.

Nieważne, że wzór C pasuje do pierwszych trzech wyrazów podanego ciągu. Jeśli nie wyjaśni się znaczenia wielokropka, wszystkie dalsze wyrazy naszego ciągu można wywróżyć z fusów. Można by dla przykładu dopisać po wielokropku same zera, same jedynki, liczby pierwsze lub cokolwiek innego. Matematyka jest sztuką precyzji. Szkoda, że nie wiedzą tego wszyscy autorzy zadań.

Zadanie 26.

W trapezie \(ABCD\) przekątne przecinają się w punkcie \(P\). Punkt \(P\) dzieli przekątne na odcinki długości: \(|AP|=8\), \(|PC|=3\) i \(|BP|=12\). Długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu różnią się o \(15\). Oblicz długość odcinka \(DP\) oraz długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu.

Rysunek (który uzupełniłem swoimi oznaczeniami zapisanymi ręcznie na czerwono) ilustrujący temat zadania skopiowałem z arkusza. Czemu autor nie postarał się o jego realność? Odcinek o długości \(8\) jest dłuższy od odcinka o długości \(12\). Ale to tylko rysunek, więc nie o to chodzi w moich zarzutach. Oznaczmy \(|DP|=y\), \(|CD|=x\) oraz \(|AB|=x+15\). Z warunku istnienia trójkąta \(ABP\) wnosimy, że \(x+15<8+12\), czyli \(x<5.\) Z podobieństwa trójkątów \(ABP\) i \(CDP\) otrzymujemy proporcję\[\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+15}{8},\]z której obliczamy \(x=9.\) Oznacza to, że nie istnieje trapez spełniający warunki zadania.

Można by dyskutować co jest celem zadania. Jeśli chodzi o stwierdzenie, że taki trapez nie istnieje, to wszystko jest w porządku. Jednak tego rodzaju zadań nie zadaje się na maturze, gdzie uczeń jest mocno zestresowany. Co on obliczy? Że \(|CD|=9,\) \(|AB|=24\) oraz z kolejnej proporcji \(\dfrac{y}{3}=\dfrac{12}{8}\) otrzyma \(|DP|=4{,}5.\) Stres w przypadku większości uczniów nie pozwoli na sprawdzenie czy w ogóle te wyniki są realne.

Jak poprawić temat zadania? Podstawa \(AB\) trapezu jest zbyt długa. Niech więc długość \(|AB|\) różni się od długości \(|CD|=x\) nie o \(15\), a o \(d<15\). Modyfikując odpowiednią proporcję piszemy\[\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+d}{8},\] skąd \(x=\dfrac{3}{5}d.\) Warunek trójkąta dyktuje nam \(x+d<20,\) czyli \(d<12{,}5\). Np. dla \(d=10\) otrzymamy \(x=6\). Oczywiście jak powyżej \(y=4{,}5.\) Jednak teraz \(|AB|=16<20=|AP|+|BP|.\) Również \(|CD|=6<7{,}5=|DP|+|PC|\) i nasze zmodyfikowane zadanie ma sensowne rozwiązanie.

Zadania matematyczne (w tym egzaminacyjne) układają żywi ludzie. Każdy może popełnić błąd. Czy jednak możemy akceptować niechlujstwo autorów? Zwłaszcza zadania egzaminacyjne powinny zostać przepuszczone przez gęste sito, tzn. zostać rozwiązane nie tylko przez układających, ale również przez inne doświadczone osoby. To pozwala na szybkie wykrycie ewentualnych pomyłek czy błędów merytorycznych. Jak mamy wychować społeczeństwo, które potrafi w rozumowaniu kierować się zasadami logiki, jeśli sami nauczyciele nie dbają o właściwy poziom ścisłości? A przecież myślenia uczymy się m. in. na szkolnych lekcjach.